T3 Türkiye Eğitim Videoları – 4

Herkese merhaba. Bugün TI-84’de konum, hız ve ivme kavramları üzerinden çalışmalar yapacağız. Verilen bir hız fonksiyonu üzerinden ivme ve konum grafiğini, o fonksiyonun türevini ya da integralini alarak çizdireceğiz. Videoda yapılan çalışmaların kazanım ilişkilendirmeleri şu şekildedir:

İLGİLİ KAZANIMLAR:

Başlamadan önce “mode” tuşuna basarak açılan sayfada fonksiyonların yazımı ile ilgili bir düzenleme yapmamız gerekiyor. Burada 5. satıra inerek parametric seçeneğini aktif hale getirelim.

Şimdi problemimize bakalım.

Bir cisim v(t) = ln(t+1) * sin(t+e-t) hız denklemi ile doğrusal bir yol üzerinde hareket etmektedir. t=0 anında y=1 konumunda bulunan cisim için;

  1. İvme-zaman grafiğini çiziniz.
  2. Konum zaman grafiğini çiziniz.

Grafikleri çizmek için öncelikle “y=” tuşuna basalım.

Açılan sayfada x ve y’nin her ikisini de zaman parametresine bağlayarak yazabileceğimiz bir fonksiyon çifti görüyoruz. Burada X1T’yi direkt T ile ifade edelim. Y1T ‘ye de hız fonksiyonumuzun denklemini yazalım. Denklemimizi yazarken T parametresi için x, t, teta, n tuşunu kullanıyoruz. Yazdıktan sonra “graph” tuşuna basalım.

 

Hesap makinemiz standart aralıklarda olduğu için grafiğimiz neredeyse bir doğru gibi gözükecek. Bu noktada “window” tuşuna basarak aralık ayarı yapmamız gerekiyor. Burada zaman parametresi için de değer aralığı belirleyebiliriz. Tmin ve Tmax için sırasıyla 0 ve 10 yazalım. Aynı değerleri Xmin için -1.5 ve Xmax için de 10 olarak yazalım. Ymin ve Y max için -4 ve 4 değerleri bu fonksiyon için yeterli olacaktır. Bu değerlerin yazımından sonra tekrar “graph” tuşuna basalım.

Gördüğünüz gibi cisim, değişen hızlar ile farklı yönlerde giderek hareketini tamamlıyor.

 

Şimdi hareketlinin ivmesini ifade eden fonksiyonunun grafiğini çizelim. Bunun için yine “y=” tuşuna basalım.Şimdi X2T’yi T ile ifade edelim. Y2T ‘ye ise hız fonksiyonunun zamana bağlı türevini yazalım. Bunun için Y2T ‘ye yön tuşları ile indikten sonra “math”  tuşuna basalım. Açılan menüde 8. seçenek olan nDeriv’i seçelim ve gerekli parametre ve fonksiyonları yazalım. Türevi alınacak fonksiyon Y1T olduğundan dolayı “vars” tuşu yardımıyla onu uygun yere yerleştirmemiz gerekiyor. Daha önceki videolarımızda “vars” tuşuna bastığımızda bir sağa kayıp ilk sıradaki function içinden seçimler yapmıştık. Şimdi ise parametrik modda çalıştığımız için değişkeni parametric seçeneğinden belirlememiz gerekiyor. Fonksiyonumuzu da yerleştirdikten sonra türevin tüm t değerleri için alınmasını istediğimizden T= yazan kısma T yazalım ve “graph” tuşuna basalım.

 

Burada mavi ile çizilen grafik hızı, kırmızı ile çizilen grafik ise ivmeyi gösteriyor. Grafikleri incelediğimizde ivmenin değerinin pozitiften negatife geçtiği aralıkta pozitif yöndeki maksimum hız değerlerini görebiliriz. İvmenin negatiften pozitife geçtiği aralıkta ise eksi yöndeki maksimum hız değerlerini görürüz.

 

Şimdi de başlangıç konumunu da kullanarak konum fonksiyonunun grafiğini çizelim. Bunun için yine “y=” tuşuna basalım. X3T’yi T ile ifade edelim. Y3T kısmına inerek başlangıç konumu olan 1’i yazalım ve cismin hareketi sonundaki yer değiştirmesini temsil eden integrali ekleyelim. Bu integral 0 anından herhangi bir T anına kadar hız fonksiyonunun integralidir. Hız fonksiyonunu ilgili yere yerleştirmek için yine “vars” tuşu üzerinden y değişkenlerine, oradan da parametric seçeneğine inelim ve Y1T ‘yi seçelim. Sonrasında integralin değişkenini yazarak “graph” tuşuna basalım. Mavi ile ifade edilen hız, kırmızı ile ifade edilen konum olacak şeklinde grafiği yorumlayabiliriz. Yine hızdaki işaret değişikliklerini gözlemleyerek konum zaman grafiğinin bu aralıktaki maksimum ve minimum değerlerini görebiliriz. Bu değerleri fiziksel olarak yorumlarsak cismin hangi zaman aralıklarında yön değiştirdiğini bulabiliriz.

 

Bir de konum değişikliğini doğrusal bir hareket şeklinde modelleyerek görelim. Bunun için X4T’ye inelim. Buraya -1 yazalım. Y4T’ye de bir önceki fonksiyon çiftindeki Y3T‘yi koyalım. Bu sayede düz bir doğru üzerinde konum değişimini gözlemleyebileceğiz. Şimdi “graph” tuşuna basalım. Grafik, konum fonksiyonuna uygun şekilde oluşurken, sol tarafta da cismin bulunduğu konum doğrusal bir rotada görülebiliyor.

 

Son olarak hız fonksiyonunun integrali üzerinden alınan yol ve yer değiştirmeyi inceleyelim. Önce “2nd” ardından “mode” tuşuna basarak hesaplama ekranına gelelim. Sonrasında “math” tuşuna basalım ve menüden 9. seçenek olan fnInt’i seçelim. Sınırları grafiği çizdiğimiz aralık olarak belirleyelim. (nefes al bu anda :D) “vars” tuşuna basarak hız fonksiyonumuzun yazılı olduğu Y1T ‘yi seçelim. Integrali de T değişkenine göre alalım. Bu integralin sonucu, cismin ilk 10 saniyedeki yer değiştirmesini verecektir. Bu değeri 2,322 METRE? olarak görüyoruz. Şimdi de alınan toplam yolu hesaplayalım. Yine “math” tuşunu kullanarak integrali seçelim. Sınırları 0-10 aralığı olarak belirleyelim. Y1T ‘yi mutlak değer içinde yazalım. Bunun için “math” tuşuna bastıktan sonra bir sağa kayarak abs seçeneğini seçelim. Mutlak değer içerisine Y1T ‘yi yerleştirip T değişkenine göre integrali alalım. Gördüğünüz gibi bu sefer sonuç 10,097 şeklinde karşımıza çıktı. Burada bulduğumuz değerlerin farklı olmasının sebebi fiziksel olarak yorumlandığında, ilkinin toplam yer değiştirme, ikincisinin ise alınan toplam yol olmasıdır.

 

Çizdiğimiz grafiklerden bir çok sonuç çıkarılabilir. Örneğin,

  • Hız, konum ve zaman kavramlarının vektörel büyüklükler olduklarını grafikler üzerinden nasıl yorumlayabiliriz?
  • Cismin yön değiştirdiği zaman aralıklarını hız grafiği üzerinde nasıl yorumlayabiliriz?
  • Fiziksel olarak hız zaman grafiğinin altında kalan alan ne anlama gelir?

Ders içeriğine göre bu sorular çoğaltılabilir. Çalışmalarımızla ilgili soru, görüş ve önerilerinizi bekliyoruz. Bize sitemiz üzerinden, mail yoluyla ya da sosyal medya hesaplarımızdan ulaşabilirsiniz. Gelecek hafta görüşmek üzere. Hoşça kalın.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir